学机器学习怎么可以不知道最小二乘法

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起源

起源:最小二乘法源于天文学和大地测量学领域。为社 让这有2个 领域对精度的高要求而被发明的故事权。

11001年,意大利天文学家朱塞普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。进行了40天的跟踪观测后,但为社 让谷神星运行到太阳身后,一蹶不振 了具体位置信息。回会全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始英语 英文寻找谷神星,为社 让根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都只有 结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。高斯使用的最小二乘法的妙招 发表于11009年他的著作《天体运动论》中,这种高斯正是著名数学家 卡尔·弗里德里希·高斯 ,没错为社 让亲戚一些人大科类学认识的那个高斯。

机器学习本质真是为社 让求最优解的过程,最小二乘法是回归算法中求最优解的妙招 之一,还有2个 多是梯度下降法,日后会讲~。

思考

亲戚一些人在正式讲最小二乘法日后,读者大大们可不里能想下下面这种大难题临近中秋,小明我应该 自己做月饼,现在已知四种 规格月饼所需的面粉重量如下:

月饼重量(g)面粉重量(g)
100 20
100 81
100 110
190 90
220 1100

现在小明想做规格为140g的月饼,请问他须要2个克月饼现在读者大大们根据平时经验,可不里能思考下为社 会 求。九年义务教育我我应该 看见这种题目就条件反射列方程求未知数,别问我读者大大们是完整都是也是日后~

原理

亲戚一些人从日后淬硬层 来看这种大难题亲戚一些人将这2个月饼用坐标系标出来,如下图 为社 让亲戚一些人先用画出第十根接近这2个点的线,假设线性关系为

是完整都是只要亲戚一些人找出第十根最接近这2个点的线就可不里能了,日后算出来的值是最接近真实值的。

由图可不里能得出,须要这条线跟这种2个点的误差最小, 每个点跟线的误差如下所示

为社 让误差是长度,一些要算绝对值,计算起来不方便,用平方来替代

最后将所有误差值累加得出

最小二乘法呼之欲出,这为社 让最小二乘法的原理了,即让误差的平方总和尽为社 让小。从求第十根最接近这2个点的线的大难题转化成求最小化误差的大难题。

求解

只有 为社 会 求呢,继续回会边的为例子。这是有2个 二次函数。总误差的平方:

根据多元微积分,当

这种日后 ϵ 取得最小值,求的a,b的解为

a,b求出后,这条最接近的线也就出来了

进一步现在假设这条线是 二次函数,结果何如

亲戚一些人可不里能选择不同的 f(x),根据最小二乘法得出不一样的拟合函数。不过选择f(x)还是只有太随意,不然要么不准,要么容易过拟合。代码实现整个思路如下

目标函数:代入生成的x,生成对应的y

def real_func(x):
  return np.sin(2*np.pi*x)

随机生成10个x进行实验:

x = np.linspace(0, 1, 10)

构造多项式拟合函数:

#多项式
def fit_func(p,x):
    """
    eg:p = np.poly1d([2,3,5,7])

   print(p)==>>2x3 + 3x2 + 5x + 7
    """
    f = np.poly1d(p)
    return f(x)

计算误差:

#残差
def residuals_func(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    return ret

leastsq 是 scipy 库 进行最小二乘法计算的函数,也为社 让通过误差函数以及数据点进行亲戚一些人前面讲的对参数进行求导操作,最后得出亲戚一些人拟合出来的函数。

def fitting(M=0):
    """
    n 为 多项式的次数
    """    
    # 随机初始化多项式参数
    #numpy.random.rand(d0)的随机样本居于[0, 1)之间。d0表示返回2个个
    p_init = np.random.rand(M+1) #生成M+有2个

随机数的列表
    # 最小二乘法
    p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y)) # 有2个

参数:误差函数、函数参数列表、数据点
    print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])
    
    # 可视化
    plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
    plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve')
    plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
    plt.legend()
    return p_lsq
    
    # M=0
    p_lsq = fitting(M=0)

亲戚一些人从一次函数依次增加项式,找到最至少的拟合曲线。



到9次的日后,为社 让完整拟合哪些点了 。

总结

亲戚一些人可不里能看出,最小二乘法的原理真是非常简单,运用起来也简洁,应用广泛。为社 让它完整都是一定的局限性,比如为社 让拟合函数完整都是线性的,就无法用最小二乘法了。还有一些,本文讲的最小二乘法是最简洁的,为社 让它对噪声的容忍度很低,容易造成过拟合,一些还须要加在正则化,这种有兴趣的读者可不里能了解下。最小二乘法运用误差淬硬层 求最优解的思路是亲戚一些人机器学习中有2个 很经典也很常用的思维方向之一,为学习机器学习打下有2个 好基础。这也是把它放入亲戚一些人的机器学习系列最开始英语 英文的因为着。

ps:须要完整代码,关注公众号,回复‘最小二乘法’获得~

本文首发微信公众号“哈尔的数据城堡”.